Učím matematiku a poviem vám, občas to bolí

Rád učím matematiku. Po skončení štúdia som to robil zhruba pätnásť rokov na Slovenskej technickej univerzite. Potom som mal prestávku asi dvanásť rokov kvôli politike, teraz som už jedenásty rok na Paneurópskej vysokej škole, kde učím informatikov a ekonómov, a to najmä onen základný kurz vysokoškolskej matematiky, kam patrí lineárna algebra a základy diferenciálneho a integrálneho počtu. Tá prestávka bola užitočná okrem iného i na to, aby som si po návrate uvedomil, ako sa situácia na vysokých školách vo vyučovaní matematiky zmenila. K horšiemu.

Niečo sa stalo

Slovami z názvu Hellerovho románu, „something happened“. V 80. rokoch sa od študentov vyžadovalo podstatne viac ako dnes a viac aj vedeli. Veď aj mali viac vyučovania matematiky. Učím na dobrej škole, ktorej študenti nezaostávajú za študentmi iných vysokých škôl. Ale skúsenosti, ktoré mám, sa zhodujú so skúsenosťami kolegov z iných škôl.

Myslím, že nechcem veľa od života, ak očakávam, že študent odboru prírodovedného či ekonomického by mal vedieť vyriešiť kvadratickú rovnicu, pamätať si, čo je á na druhú mínus bé na druhú, a, samozrejme, mal by vedieť sčítavať zlomky. No a poväčšine to nevedia. Tie zlomky vedia sčítať, ak sú konkrétne, trebárs dve tretiny plus štyri sedminy, ale ak zlomky obsahujú abstraktné hodnoty, teda tie iksy a ypsilony, tak už je problém s nájdením spoločného menovateľa.

Niekedy sa nádejám, že zníženie úrovne je jednoducho spôsobené tým, že dnes študuje na vysokých školách asi dva a pol krát viac študentov ako v 80. rokoch, takže popri najlepších študentoch dnes študujú aj takí, ktorí by pred 30 rokmi študovať nešli.

Ale nedá sa to vysvetliť iba tým. Zrušenie povinnej maturitnej skúšky z matematiky bolo ťažkým omylom. Ale ani to nie je úplné vysvetlenie. Celkovo sa čosi stalo s našou psychológiou. Myslím svetovo. Počúvate občas tie reči o tom, že učenie nemá byť memorovaním, že treba rozvíjať kreatívnosť, ale najmä a predovšetkým, že to má byť proces hravý?  

Nič proti rozvíjaniu kreatívnosti, ale než k nej dôjde, žiak musí nejaké skutočnosti namemorovať. Keď nepozná základné fakty, tak čo už narozvíja. A nič proti hravosti, podporujem ju. Ale dnes je spojená s predstavou, že to nikdy nesmie bolieť. Keď hovoríme o hre, tak si spomeňme na futbal, basketbal a podobne. Čo nevieme, že cesta k vrcholným výkonom v hre vedie cez bolesť v tréningu? To, že učenie matematiky môže žiaka aj zabolieť, nás dnes akosi mätie. A vôbec, nutnosť prekonávania ťažkostí v ľudskom živote sa nám javí už ako čosi poburujúce a hľadáme spôsob, ako to za každú cenu obísť.

A v tomto sebaklame prebieha vyučovanie na základných aj stredných školách. Výsledky sa dostavili a nie sú dobré.

Vážení, myslieť bolí

Zo všetkých mojich učiteľov matematiky, obzvlášť jeden zo mňa urobil matematika. Stredoškolský profesor Radomír Borgula nám zvykol hovoriť: „Vážení, myslieť bolí.“ Áno, je to tak. A profesor Borgula niečo o bolesti vedel. Bol totiž trojnásobným majstrom Československa v modernom päťboji.

A viete, ako ešte len bolí matematika vedca, ktorý sa na rozdiel od študenta nielen snaží pochopiť, čo už niekto iný objavil, ale ktorý sa sám snaží prebádať ešte neprebádanú partiu? Keď sa mu zdá, že už to objavil, ale potom zistí, že v dôkaze je chybička. Malá chybička, ale viete, v matematike je aj malá chybička fatálna. Lebo v matematike musí všetko do seba zapadať s absolútnou presnosťou. Tá bolesť… Ale to víťazstvo, keď to prekonáte.

Ako ich učím

Som k študentom úprimný. Hovorím im to, čo nám vravieval profesor Borgula, teda: „Myslieť bolí. Ak študujete a nič vás nebolí, tak sú dve možnosti. Buď ste géniovia, čo nie je až také pravdepodobné, alebo je vaše učenie len ilúziou. Ak vás to bolí, ste na dobrej ceste.“ A tiež im zdôrazním, že neexistuje, aby sa im tá vložená námaha nevrátila. Čo do toho vložia, to sa im vráti.

Keď som sa do vysokého školstva vrátil, rýchlo som pochopil, že ak má mať to vyučovanie nejaký zmysel, tak musím nejaký čas obetovať na to, aby som ich naučil to, čo sa mali naučiť na strednej či dokonca na základnej škole. Ani sa ma nepýtajte, koľko času na to musím vyhradiť. Dosť.

Veľkým problémom je pre študentov prechod od konkrétneho k abstraktnému. Keď sa ich pýtam, čo je odmocnina z 9, všetci vedia, že 3 a čudujú sa, že sa ich pýtam na takú banalitu. Keď im potom poviem, aby vysvetlili, čo je to odmocnina z kladného čísla x, spoľahlivo viem, že nastane ticho (je to číslo, ktoré keď vynásobíte ním samým, dostanete x).

Hovorím im, rozdeľme sto eur medzi sto ľudí a potom sto eur medzi tisíc ľudí. A spýtam sa, v ktorom prípade dostane každý z tých ľudí viac. To vedia, že je to vtedy, ak sa suma delí medzi menej ľudí. Napokon, veď vieme z filmov, že aj bankoví lupiči vedia, že keď odbachnú jedného spomedzi seba, tak na ostatných vyjde viac. Ale keď sa ich spýtam abstraktne, že ak x ide do nekonečna, kam ide jedna lomeno x, tak majú problém. Hneď sa musím vrátiť ku konkrétnemu a hovorím, predstavte si, že to x je niečo veľmi veľké, napríklad milión. A opäť sa spýtam, kam teda ide jedna lomeno x. Naveľa sa niektorý ozve: K nule? Áno, k nule. Ten otáznik v hlase ma trošku zabolí, ale som i tak povďačný. Ale za semester to musím s nimi prežiť dvadsaťkrát.

Matematiku vkladám do dejín

Občas sa ich snažím rozptýliť. Keď preberáme prechod od konkrétneho k abstraktnému, vždy spomeniem neznámeho génia (možno ich bolo viac), ktorý si na úsvite dejín všimol, že tri stromy, tri kopce a tri mamuty majú čosi abstraktné spoločné, a síce pojem tri. Tak vznikli prirodzené čísla. Ak mám čas, spomeniem Štorchovu knihu pre mládež Lovci mamutov, kde Kopčem vysvetľuje Veverčákovi, že jeden pazúrik a ešte jeden pazúrik sú dva pazúriky, čo Veverčák nie a nie pochopiť.

Hovorím študentom, že pred dva a pol tisíc rokmi v antickom Grécku mali Pytagorovi žiaci predstavu, že číslo je len racionálne číslo, to jest podiel dvoch celých čísel. Jeden z nich, Hippasos, však ukázal, že v takom prípade uhlopriečka štvorca so stranou dĺžky 1 nemá dĺžku, lebo žiadne racionálne číslo ňou nie je. Legenda hovorí, že kolegovia ho utopili za trest, že im zrúcal ich myšlienkový svet. My vieme, že dĺžkou onej uhlopriečky je iracionálne číslo odmocnina z 2, ale iracionálne čísla museli matematici vymyslieť poriadne až v 19. storočí.

Keď sa bavíme o kartézskom súčine množín, zisťujem, či vedia, kto je onen Cartesius, ktorý ho zaviedol. Občas sa nájde niekto, kto vie, že je to René Descartes, niekedy dokonca vie, že žil v dobe Ľudovíta XIV. Tým, čo nevedia, kto bol Ľudovít XIV, pripomeniem, že to je ten z filmov o Angelike.

Zmienim sa o trpkom spore spred tristo rokov medzi Isaacom Newtonom a G. W. Leibnizom o prvenstvo v objavení a rozvoji infinitezimálneho počtu (limity, derivácie, integrály). Dnes priznávame prvenstvo obom.

Rád im rozprávam o životnom príbehu Louisa Augustina Cauchyho, ktorému jeho katolícke monarchistické presvedčenie urobilo zo života drámu. Meno Cauchy zrejme, ak ste priamo neštudovali matematiku, nepoznáte. Bol to však on, čo sto rokov po Newtonovi a Leibnizovi zmenil ich jazyk na rigorózny z hľadiska modernej matematiky, a už dvesto rokov sa teda základné vysokoškolské kurzy matematiky učia tak, ako to nalinkoval on.

Nie všetkým tieto veci rozprávam. Učím viacero kurzov. U niektorých bol rozsah matematiky tak znížený, že niet kedy. Pozerám na to a neveriacky sa pýtam: a toto mám všetko stihnúť odprednášať? Ono je to tak, matematiky sa boja, a tak sa jej rozsah znižuje. Potom ju študenti nevedia, a tak sa jej boja. Začarovaný kruh. V takom kurze je každá minúta cenná. Idem ako mašina a normálne občas zabúdam dýchať, tak sa ponáhľam.

I ja dostanem, čo som vložil

Ale nakoniec koncom semestra vždy dosiahnem, že minimum, z ktorého sa nedá ustúpiť, si napokon študenti osvoja. I ja dostávam naspäť, čo som vložil. Vďačím za to týmto pravidlám:

Nepokúšam sa o nemožné.

Nástojčivo vysvetľujem spätosť matematiky s praxou. Informatikom kladiem na srdce, že polynomická funkcia x na druhú aj exponenciálna funkcia dve na x-tú síce napohľad rastú rovnako strmo, ale v skutočnosti rast polynomickej nie je nič v porovnaní s rýchlosťou rastu exponenciálnej funkcie. Preto program na riešenie problému, ktorý vyžaduje 100 na druhú operácií, zbehne za nanosekundu, ale ak vyžaduje 2 na 100 operácií, program bude bežať tisícročia. Sú čísla, ktoré sú veľké, a potom sú čísla, ktoré sú fakt veľké, a s tými si ani počítače neporadia. Od ekonómov očakávam, že pochopia, že inflácia je deriváciou cenovej hladiny. Prípadne, že celebrita medzi číslami, ktorá sa tajomne volá „e“ (mená čísel bývajú niekedy jednopísmenové) súvisí s úrokmi z vkladov.

To, čo je možné, húževnato vyžadujem. Keď treba niečo zopakovať dvadsaťkrát, zopakujem to dvadsaťkrát.

Neobviňujem študentov, nemôžu za celonárodný úpadok. Keď vidím jej konkrétne dôsledky u študenta pri tabuli, v mojom vnútri to buble, ale len sa mierne spýtam, na akú strednú školu chodil. Občas sa mi stane, že predvídam odpoveď. Na hotelovú…

Naučil som sa mať pochopenie pre stres, ktorý prežívajú. Veď to poznám aj ja na sebe a robí ma to chápavejším a pokornejším. Tak ich vyzývam k odvahe a húževnatosti.

Inak, študenti nás každoročne anonymne hodnotia. Občas sa bojím, či mi to nespočítajú. Ale nie. Hodnotenia sú dobré. Asi pochopili, že hodiny matematiky nebudú nikdy príjemným zážitkom, ale že si chcem zarobiť svoj plat poctivo a niečo ich bezpodmienečne naučiť.

Covid všetko sťažil

Covid všetko zhoršil. Učíme na diaľku. A na diaľku to nikdy nebude ono, i keď dá sa veľa urobiť. Ale nie všetko. Učiteľ niekedy musí viesť myseľ študenta ako herec na javisku a musí z neho mámiť reakciu. Cez počítač to tak nejde. Používame MS Teams a patrím k tomu málu pedagógov, ktorí neučia z domu, ale prednášam v škole v prázdnej miestnosti a kamera ma sníma. Musím totiž veľa písať na tabuľu. Myslím, že z množstva spotrebovaných fixiek na fakulte dlhodobo asi polovicu miniem ja. Existuje už hardvér aj na to, elektronická tabuľka, na ktorú sa píše elektronickým perom. Ale ja mám rád veľkú tabuľu.

Graf denných prírastkov nakazených Covidom som začal používať na vysvetlenie konvexnosti a konkávnosti funkcie. Keď graf rastie a je konvexný, je zle, všetko sa zhoršuje, keď síce rastie, ale konkávne, vieme, že máme nádej na dosiahnutie vrcholu a následný pokles.

Inak je všetko horšie. Keď je cvičenie, vyvolávam študenta, napíšem príklad na tabuľu a študent mi na diaľku diktuje postup. Občas im nejde dobre internet a tabuľu nevidia. Vťahovať ich do diania je ťažké. Dám otázku a čakám, nalieham. Odpovedá mi vesmírne ticho. Tak neprosíkam, mám svoju hrdosť. Prednášky nahrávam, môžu si ich opakovane prehrávať. Cvičenia radšej nie. 

Skúšam prezenčne, žiadne podvody

V letnom semestri som aj skúšal on-line. Nemal som z toho dobrý pocit. Poctivosť sa nedala zaručiť. Mladých ľudí netreba uvádzať do pokušenia. A tak teraz v zime, keďže to smernice povoľujú, skúšam prezenčne, študenti prídu na písomnú skúšku do školy. Naraz môže prísť iba päť študentov, sme teda šiesti v aule pre dvesto ľudí. Sociálny dištanc obrovský, rúška, všetko, čo treba. Už som si to vyskúšal v decembri na predtermínoch. Funguje to, akurát, že tých termínov bude musieť byť vyše dvadsať.

No tak ich bude dvadsať, ale výsledok bude za čosi stáť. Rád učím tú matiku. Ani Covid to nezmenil.