Matematický argument, ktorý vyvracia tvrdenie Igora Matoviča

Pred pár dňami predseda vlády Igor Matovič ukazoval na tlačovke graf, ktorý mal byť dôkazom, že celoplošné testovanie zachránilo Slovensko pred absolútnou erupciou Covidu-19. On i jeho ministri hovorili, že celoplošné testovanie nás zachránilo v hodine dvanástej.

Ten graf vidí čitateľ pred sebou ako ilustráciu k tomuto článku. Modrá čiara znamená slovenský vývoj denných prírastkov nakazených občanov na Slovensku. Pod denným prírastkom mám na mysli denný počet nových nakazených Covidom-19 odhalených PCR testovaním. Správy o týchto prírastkoch boli posledné dva mesiace hlavnými správami dňa v médiách a celá diskusia v laickej verejnosti i v politických a odborných kruhoch sa odvíjala práve od informácie o týchto prírastkoch.

Na Matovičovom grafe v určitom bode, ktorým je termín celoplošného testovania, sa z modrej plnej čiary dvíha strmo hore prerušovaná modrá čiara, ktorá znázorňuje, ako by rástli denné prírastky nebyť testovania. Tá strmosť vyzerá hrozivo, však?

Lenže tá strmá hypotetická čiara nemá opodstatnenie. Keď sa pozrieme analytickým spôsobom na dáta, tak takýto katastrofický scenár vôbec nevidíme.

Pozrime sa najprv na graf denných prírastkov nakazených na Obr. 1.

Celoplošné testovanie sa konalo v sobotu 31. októbra a v nedeľu 1. novembra. Za posledný deň bez vplyvu celoplošného antigénového testovania na výsledky pravidelného PCR testovania považujme 3. november.

Položme si otázku, či na Obr. 1 v týždni končiacom 3. novembrom (v červenom kruhu) vidíme nejaké dôkazy, že by sa krivka mala začať strmo dvíhať. Nevidíme. Dňom najvyššieho denného prírastku (3 363) ostáva štvrtok 29. októbra dva dni pred celoplošných testovaním. Tento prírastok bol teda vyšší ako nasledujúci piatkový, sobotňajší aj utorkový prírastok, i keď tieto vždy patrili obyčajne k tým vysokým. (Samozrejme, bol vyšší aj ako nasledujúci nedeľný a pondelkový prírastok, ale tie bývali vždy v rámci týždňa tie najmenšie). Niekto by mohol namietať, že informácia za jeden deň nemôže byť smerodajná. Mal by pravdu, ale veď sa nehodláme ani zďaleka opierať iba o túto informáciu z jedného dňa. Prečo ju však nespomenúť, keď Igor Matovič burcoval za celoplošné testovanie tiež informáciou z jediného dňa, keď upozorňoval, že prírastok 3 042 zo soboty 24. októbra bol takmer dvojnásobkom prírastku 1 567 z predchádzajúcej soboty 17. októbra?

Teraz vyhladíme krivku

Potrebujeme analyzovať vývoj prírastkov za dlhšie obdobie od začiatku septembra. V analýze nám bráni už spomenutá skutočnosť, že pracovný rytmus vyhodnocovania PCR testov v jednotlivých dňoch týždňa je odlišný. Prírastky za nedele a pondelky sú najslabšie, za štvrtky, piatky a soboty najvyššie. Preto musíme krivku „vyhladiť“ v tom zmysle, že prírastok za daný deň nahradíme aritmetickým priemerom prírastkov za daný deň, za tri dni pred a tri dni po danom dni. Výsledok vidíme na Obr. 2.

Vyhladenie krivky odstránilo vplyv špecifickosti dní v týždni a krivka prírastkov sa stala zrozumiteľnejšou. I tu prípomíname, že obdobie týždňa končiaceho 3. novembrom opäť neposkytuje informáciu oprávňujúcu tvrdiť, že bez celoplošného testovania by určite nasledoval stále strmší rast prírastkov.

Krivka je ešte stále zaťažená náhodnosťou. Ešte zrozumiteľnejší pohľad dostaneme, keď zlučujeme dohromady skupiny niekoľkých za sebou idúcich dní a skúmame vývoj celkových prírastkov za celú skupinu týchto dní. Skúmali sme alternatívne výsledky zlučovania siedmich alebo piatich alebo troch dní. Výsledky boli pochopiteľne podobné, matematicky najlepšie popísateľný je výsledok pri zlučovaní piatich dní. Vidíme to na Obr. 3.

Konvexná krivka prechádza do konkávnej

Na Obr. 3 vidíme prírastky za 11 päťdňových období počas 55 dní od 10. septembra do 3. novembra. Krivka prírastkov má priam učebnicový charakter. Má zreteľný tvar „esíčka“. Prvých sedem 5-dňových období rastie stále väčšou rýchlosťou, teda rozdiely medzi prírastkami sa zvyšujú, čiže krivka sa stáva stále strmšou. Takýto tvar rastúcej krivky matematici nazývajú konvexným.

Potom zhruba počas dvoch 5-dňových období nasleduje rast konštantnou rýchlosťou, rozdiel medzi prírastkami v siedmom a ôsmom období je ten istý ako medzi prírastkami v ôsmom a deviatom období. Na tomto úseku je tvar krivky lineárny, je to úsečka.

Napokon vidíme v druhej polovici októbra na poslednom úseku, ako rast prírastkov spomaľuje, čiže prírastky stále rastú, ale rozdiely medzi nimi sa zmenšujú. Takýto tvar rastúcej krivky sa nazýva konkávny. Inými slovami, za celé znázornené obdobie krivka prírastkov prešla z konvexného, stále strmšieho rastu do rastu konkávneho, teda krivka si začala „líhať“. To je inak prvá podmienka, aby sa v jednej chvíli rast prírastkov úplne zastavil.

Tvar krivky predsa nie je prekvapivý

Tento vývoj predsa vôbec nebol prekvapivý. Veď mesiac pred celoplošným testovaním boli prijaté opatrenia v podobe mnohých obmedzení pohybu. Navyše od soboty 24. októbra, celý týždeň pred celoplošným testovaním platil dokonca zákaz vychádzania, ktorý nesmierne znížil mobilitu obyvateľstva. A tieto opatrenia jednoducho začali fungovať. Preto sa krivka prírastkov zo stále strmšieho rastu najprv narovnala a potom si začala líhať. Ale Igor Matovič nám tvrdí, že v čase tesne pred testovaním tá krivka mala stále našliapnuté na stále strmší rast. Nie, naopak, líhala si.        

Tak povedal Ivan Bošňák a Dáta bez pátosu

Úvahy, o ktorých píšem, by sa nikdy nezrodili bez inšpirácie od dátového analytika Ivana Bošňáka. Ivan Bošňák sa stal pozitívnym úkazom asi dva týždne pred celoplošných testovaním, lebo v čase vrcholiacej mediálnej hitparády zlých správ o pandémii dokazal prísť svojou matematickou analýzou dát aj k správam dobrým a tie potom zverejňoval. Už veľa dní pred celoplošným testovaním svojimi grafmi predpovedal, že rast denných prírastkov sa zastaví niekedy v prvom novembrovom týždni. Pozrime sa na dôkaz, že mal pravdu. Pred sebou vidíte graf, ktorého zdrojom je práve Ivan Bošňák a stránka Dáta bez pátosu, ktorú vytvoril so skupinou spolupracovníkov.

Sústreďme sa na modrú krivku, ktorá sa týka Slovenska, a vysvetlime si, čo sú tie modré bodky. Modrá bodka v danom dni nám ukazuje, o koľko percent narástol prírastok nakazených v porovnaní s prírastkom spred týždňa. Keď sa pozrieme na 28. september, vidíme, že vtedy tento nárast prírastkov bol takmer o 60 percent. (Spomeňme si na stále strmší rast krivky prírastkov na Obr. 3 v septembri a prvej polovici októbra.) A Ivan Bošňák si všímal, že tento percentuálny nárast má jasnú tendenciu klesať. A v týždni pred plošným testovaním klesal už tak prudko, že bolo otázkou dní, kedy spadne pod nulu, a teda príde už k poklesu prírastkov nakazených. Stalo sa tak 5. novembra.   

A vlastne môžeme tvrdiť, že ešte skôr. Ivan Bošňák totiž pracoval s metodikou, ktorú som od neho prevzal vo vyššie uvedených úvahách, a síce, pracoval s „vyhladenými“ dennými prírastkami, ktoré v danom dni počítal ako priemer z daného dňa a šiestich dní dozadu, čo je najrozumnejší spôsob, ak chceme čo najčerstvejšiu informáciu. S uplynutím ďalších troch dní však ex post môžeme získanú informáciu ešte upresniť v tom zmysle, že za „vyhladený“ prírastok budeme považovať priemer z prírastkov za daný deň, za tri dni predtým a za tri dni potom. S Bošňákom už dlhší čas komunikujem na sociálnej sieti, a keď som mu to navrhol, nenamietal, a napísal mi, že som už druhý, čo mu to navrhol.

Ak prijmeme túto upravenú metodiku, tak uvedený graf sa posunie o tri dni doľava a za deň dosiahnutia vrcholu prírastkov môžeme považovať 2. november.

Napokon, nie sú to len ľudia pracujúci s matematikou, ktorí tvrdia, že je to inak, ako to podáva Igor Matovič. Nedávno epidemiologička Alexandra Bražinová z Ústavu epidemiológie Lekárskej fakulty UK uviedla, že zlepšenie situácie nemohlo takým skokom spôsobiť celoplošné testovanie vzhľadom na inkubačnú dobu Covidu-19, a že za zlepšenie sa zaslúžili i fungujúce opatrenia prijaté pred mnohými týždňami.

Čo netvrdíme a čo tvrdíme

Aby bolo jasné, netvrdíme, že pred celoplošným testovaním už bola pandémia porazená, naopak, zápas s ňou ešte bude zdĺhavý. Netvrdíme ani to, že celoplošné testovanie neprinieslo nič dobré. Nie, veľa pozitívne testovaných sa dostalo do karantény, čo ďalej zlepšuje situáciu.

To, čo je zrejmé, je fakt, že pandemická situácia sa zlepšovala už pred celoplošným testovaním, a teda že premiérova hypotéza, ako nás celoplošné testovanie zachránilo v poslednej chvíli pred kataklizmou, nie je založená na pravde.

Vôbec nespochybňujeme užitočnosť testovania ako takého. Má sa však zohľadňovať princíp lokálnosti, teda má sa testovať intenzívne a rýchlo tam, kde treba. Minister obrany po celoplošnom testovaní uvádzal, že testovanie odhalilo ohniská nákazy, napríklad v okrese Čadca. Ivan Bošňák povedal už týždeň predtým v televízii, že Čadca horí, a vedel to len z výsledkov PCR testovania. 

Vieme si predstaviť, že premiér by to naozaj rád videl tak, ako to prezentoval. Pomohlo by mu to vyviniť sa z brutálneho tlaku na päť miliónov občanov, ktorých postavil pred voľbu ísť na „dobrovoľné“ testovanie alebo ostať zavretý doma bez možnosti ísť do práce, miestami dokonca bez možnosti nakúpiť si v obchode.

A ešte tvrdíme, že s nehovorením pravdy ľuďom vo vážnych veciach sa dlhodobo vládnuť nedá.